动车晚点导致旅客的行程受到影响时，旅客可以根据相关法律法规向相关铁路部门申请赔偿。
具体申请赔偿的步骤如下：

1. 出行前提前准备：在购票时，应咨询并了解铁路部门的晚点赔偿政策，并保存好购票凭证等相关票据。

2. 获得晚点证明：如出行发生晚点情况，应及时在车站的售票窗口或相应服务台索取晚点证明。
晚点证明是申请赔偿的重要凭证，必须确保准确、完整。

3. 提交申请材料：根据一般情况，旅客在发生晚点后24小时至30天内可以向铁路部门递交赔偿申请。
通常，在申请时需要提供的材料包括晚点证明、购票凭证、身份证明等。

4. 确认赔偿金额：铁路部门会根据具体晚点时间、旅客车型等情况，对申请赔偿的金额进行核查。
赔偿金额的核定一般符合相关法律法规，并与实际情况相吻合。

5. 赔偿方式：铁路部门通常会将赔偿金额直接返还给旅客，返还方式可以是现金、银行卡等。
有些铁路部门也支持将赔偿金额用于购买火车票或抵扣下次购票费用等。

需要注意的是，每个地区的晚点赔偿政策可能略有不同，旅客应根据具体情况详细了解铁路部门的赔偿政策，并及时申请赔偿。
在申请过程中，旅客要保留好相关的证据和资料，并根据铁路部门的要求提供相应的申请材料。
此外，如遇到赔偿申请遇阻等问题，旅客可以向当地相关部门投诉或咨询法律援助机构寻求帮助。